『「異様に難しいドラクエの謎解き」をモデル検査器で解く』代わりに数学で解く

前置き

タイトルは本歌取りもいい加減にしろ, という長さですが. こんなつぶやきをしたので, 予告どおり記事を書きます.

酒井さんの続きの記事 → http://msakai.jp/d/?date=20130402#p01

解説

まず方針としては酒井さんと同じく連立方程式を解きます. 酒井さんはモデル検査を用いて解いていますが, 私は数学で解きます. 一応, 数学を学んできた身としては, 数学で解けるものは数学で解きたいものです. (酒井さんも同じようなお考えなのかもしれません) 数学を使って厳密に解いてしまえば, この解が最適解かどうか考えるのも楽になります. 手法による違いを楽しんでいただけたら, と思います.

まず最初に立式する連立方程式は同じです.

$$ \begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 + a_1 &\equiv b_1\ (\bmod 4) \\ x_2 + x_3 + x_4 + a_2 &\equiv b_2\ (\bmod 4) \\ x_1 + x_3 + x_4 + a_3 &\equiv b_3\ (\bmod 4) \\ x_1 + x_2 + x_4 + a_4 &\equiv b_4\ (\bmod 4) \end{aligned} $$

4 次元の縦ベクトル \(\mathbf{a}\) は 4 つの銅像の初期状態, \(\mathbf{b}\) は終了状態を表します. 各要素は内側を向いている状態を 0 として, 右回りに 90 度回るごとに 1 増えるとします.

与えられた \(\mathbf{a}\) に対し \(\mathbf{b} \equiv 0\) の条件で \(\mathbf{x}\) について解くのですが, ここでおもむろに行列を持ち出します.

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

こうして

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} - a_1 \\ - a_2 \\ - a_3 \\ - a_4 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

こうして

$$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix} \end{aligned ...

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